2026年1月3日，上海，陽(yáng)光晴朗。在第十屆世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICCM2025）上聽(tīng)到自己名字時(shí)，高鴻灝深吸口氣，上臺(tái)接過(guò)獎(jiǎng)杯——憑借在拉格朗日填充分類(lèi)問(wèn)題上的突破性探索，他榮獲最佳論文獎(jiǎng)。
對(duì)這位年輕的、清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)中心副教授而言，這是一份沉甸甸的榮譽(yù)與認(rèn)可。
“培養(yǎng)頂尖數(shù)學(xué)人才、開(kāi)展世界一流數(shù)學(xué)研究，終究要回歸科學(xué)精神的本真——對(duì)未知的好奇、對(duì)真理的執(zhí)著探索，以及對(duì)自然之美的由衷追求。”自2022年回國(guó)，高鴻灝深受菲爾茲獎(jiǎng)得主丘成桐的影響，身體力行地踐行著對(duì)數(shù)學(xué)的“美”的追求。
同時(shí)，作為清華大學(xué)求真書(shū)院的班主任，他堅(jiān)持鼓勵(lì)學(xué)生思考具有交叉學(xué)科影響力的科研難題。“教育不只是傳授知識(shí)，更要守護(hù)學(xué)生的成長(zhǎng)。”高鴻灝說(shuō)。
近日，一個(gè)尋常午后，高鴻灝從繁重的科研與教學(xué)工作中抽身，與記者暢談自己的學(xué)術(shù)之路，分享對(duì)數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)的深度思考。
推翻20年猜想
這一獎(jiǎng)項(xiàng)是對(duì)高鴻灝多年數(shù)學(xué)研究成果的肯定。
拉格朗日填充分類(lèi)問(wèn)題是低維辛幾何中的重要問(wèn)題之一。而辛幾何則是微分幾何和微分拓?fù)涞囊粋€(gè)分支，與物理有著深刻的聯(lián)系，是當(dāng)今數(shù)學(xué)界一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域。
“簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，拉格朗日填充研究對(duì)象是三維空間中一類(lèi)特殊‘紐結(jié)’，即勒讓德紐結(jié)?！备啉櫈忉尩?，“紐結(jié)理論是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，填充問(wèn)題雖然抽象，但直接關(guān)系到紐結(jié)的核心性質(zhì)?！?/p>
自1996年起，數(shù)學(xué)家便已開(kāi)展相關(guān)研究?！敖?jīng)過(guò)近20年的研究，學(xué)界專(zhuān)家普遍認(rèn)為，任意勒讓德鏈環(huán)所界定的拉格朗日填充的個(gè)數(shù)總是有限的，但這一猜想始終沒(méi)有得到證實(shí)。”高鴻灝說(shuō)。
科學(xué)的探索與發(fā)現(xiàn)，從來(lái)都是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。
高鴻灝的博士導(dǎo)師艾瑞克?薩斯勞(Eric Zaslow)發(fā)現(xiàn)，叢代數(shù)與填充有一定關(guān)系。高鴻灝與羅杰·卡薩爾斯進(jìn)一步證明，叢代數(shù)其實(shí)是解決填充問(wèn)題的核心工具。他們還關(guān)注到一篇發(fā)表于2005年的論文，提到了勒讓德環(huán)路這一幾何構(gòu)造方法。
“這篇論文相對(duì)孤立，沒(méi)有后續(xù)的研究，大家既不知道這個(gè)構(gòu)造方法的應(yīng)用場(chǎng)景，也不知道如何推廣?！钡麄凅@喜地發(fā)現(xiàn)，勒讓德環(huán)路蘊(yùn)含著奇妙的對(duì)稱(chēng)性：能通過(guò)多個(gè)紐結(jié)的等價(jià)變換形成回路，盡管首尾的紐結(jié)圖完全相同，但中間過(guò)程的變換卻產(chǎn)生了新的結(jié)構(gòu)。
這給了他們新的啟發(fā)：能不能在勒讓德環(huán)路的基礎(chǔ)上探索新的填充構(gòu)造方法，驗(yàn)證拉格朗日填充分類(lèi)問(wèn)題？
此外，他們還應(yīng)用了微局部層這一工具，最終發(fā)現(xiàn)大量勒讓德鏈環(huán)都可以界定無(wú)窮多個(gè)拉格朗日填充，推翻了學(xué)界二十余年的錯(cuò)誤猜想。2022年，該論文發(fā)表于國(guó)際頂級(jí)期刊《數(shù)學(xué)年刊》。
此后，高鴻灝團(tuán)隊(duì)繼續(xù)探索代數(shù)的無(wú)限性是否對(duì)應(yīng)幾何的無(wú)限性，引入了箭圖及其勢(shì)能函數(shù)工具，進(jìn)一步證明了拉格朗日填充與叢代數(shù)種子之間潛在的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即每一個(gè)叢代數(shù)種子均由一個(gè)恰當(dāng)拉格朗日填充誘導(dǎo)所得，這完成了拉格朗日填充的完備分類(lèi)的關(guān)鍵一步。
2024年，這一新成果，歷經(jīng)9個(gè)月審稿，發(fā)表于國(guó)際頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》，并入選2024年清華大學(xué)最受師生關(guān)注十大亮點(diǎn)成果。2025年，他還獲得了清華大學(xué)“學(xué)術(shù)新人獎(jiǎng)”。
“該成果是辛幾何領(lǐng)域的重大突破，開(kāi)辟了全新的技術(shù)路徑，將我國(guó)在該領(lǐng)域的研究帶入世界領(lǐng)先地位。”在清華大學(xué)的推薦理由中，這一成果得到了高度評(píng)價(jià)。
品味與興趣
這是一項(xiàng)“水到渠成”的研究成果。高鴻灝坦言，“數(shù)學(xué)研究有時(shí)需要一種‘直覺(jué)’和‘興趣’。數(shù)學(xué)具有邏輯的自洽和結(jié)構(gòu)的美感?！?/p>
從小時(shí)候起，高鴻灝就對(duì)數(shù)學(xué)推導(dǎo)中的嚴(yán)密邏輯萌生了濃厚興趣，本科時(shí)期，盡管來(lái)到金融氛圍濃厚的香港科技大學(xué)，卻絲毫沒(méi)有動(dòng)搖他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛(ài)。
后來(lái)，到美國(guó)西北大學(xué)攻讀博士后時(shí)，新的挑戰(zhàn)如約而至——他必須選擇具體的科研方向。
起初，懷揣著對(duì)幾何代數(shù)的濃厚興趣，高鴻灝主動(dòng)聯(lián)系了一位復(fù)幾何領(lǐng)域的老師，但經(jīng)歷了幾次深入交談后，他發(fā)現(xiàn)自己更傾向代數(shù)幾何方向的研究。在對(duì)方推薦下，他敲開(kāi)了導(dǎo)師辦公室的門(mén)。
“薩斯勞的學(xué)術(shù)經(jīng)歷很特別，最初從事物理學(xué)研究，直到博士后才轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)，因此更善于挖掘不同學(xué)科、不同領(lǐng)域之間的內(nèi)在聯(lián)系?！备啉櫈貞浀?，這段求學(xué)經(jīng)歷讓他受益匪淺，“能不能發(fā)論文、能不能畢業(yè)？從來(lái)不是薩斯勞教授最看重的?！?/p>
相反地，薩斯勞總是率先詢(xún)問(wèn)學(xué)生的興趣方向，再開(kāi)展針對(duì)性的溝通和交流。
“在研究里他常常引導(dǎo)我們思考：數(shù)學(xué)各分支之間的內(nèi)在聯(lián)系是什么？不同學(xué)科領(lǐng)域如何實(shí)現(xiàn)交叉融合？”高鴻灝回憶道，薩斯勞總是告訴他們，只要沿著正確的方向潛心鉆研，假以時(shí)日總會(huì)有所收獲。
這大大鼓勵(lì)了高鴻灝，他大膽地選擇了感興趣的微局部層論作為研究對(duì)象。
微局部層論是代數(shù)分析與層論相結(jié)合的一套新理論框架，20世紀(jì)90年代建立后，直到2012年才正式進(jìn)入低維辛幾何領(lǐng)域，但一直沒(méi)有得到重視。
“畢竟學(xué)界當(dāng)時(shí)已經(jīng)有發(fā)展更成熟的傳統(tǒng)理論，為什么要用一個(gè)新理論呢？”高鴻灝告訴記者，一邊是對(duì)微局部層論的熱愛(ài)，一邊是現(xiàn)實(shí)兩難的情況，糾結(jié)再三，他想起了導(dǎo)師的話(huà)，“盯住一個(gè)問(wèn)題就要堅(jiān)持?！?/p>
“只有興趣，才能讓人們?cè)诔晒t到時(shí)，繼續(xù)堅(jiān)持下去?！备啉櫈貞浀溃麍?jiān)定地選擇了這一領(lǐng)域，幸好，現(xiàn)實(shí)也沒(méi)有辜負(fù)這份勇氣，在日積月累的鉆研中，高鴻灝和合作者不斷取得突破。
然而，挑戰(zhàn)總是不期而至。在拉格朗日填充的完備分類(lèi)研究中，他們一度發(fā)現(xiàn)，引理中存在驗(yàn)證不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟糠帧?/p>
“如果這是個(gè)漏洞，將會(huì)導(dǎo)致證明全盤(pán)崩塌?！备啉櫈嬖V記者，盡管他們知道，在數(shù)學(xué)研究中，挫折才是常態(tài)，但仍不免擔(dān)心，會(huì)不會(huì)“竹籃打水一場(chǎng)空”？
“前后邏輯的對(duì)稱(chēng)性和對(duì)應(yīng)關(guān)系如此美妙，這個(gè)問(wèn)題一定能解決?！备啉櫈秃献髡弑舜舜驓猓餐_(kāi)始一點(diǎn)點(diǎn)補(bǔ)全證明。
1月3日，站在領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)上，高鴻灝無(wú)比感慨，正是在導(dǎo)師的影響下，他有了足夠的信心在傳統(tǒng)之外尋求創(chuàng)新，輾轉(zhuǎn)法國(guó)、美國(guó)各院校完成理論學(xué)習(xí)和積累，這些經(jīng)歷也讓他切身體會(huì)到，“優(yōu)秀數(shù)學(xué)家從不同中找相似，頂尖數(shù)學(xué)家在相似中找相似?！?/p>
如今，他也嘗試著將這份對(duì)數(shù)學(xué)的興趣與熱忱傳遞給更多人。
“養(yǎng)花人”
2022年，結(jié)束了美國(guó)密歇根州立大學(xué)博士后研究工作的高鴻灝，有了個(gè)新身份：清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心的教師。
求真書(shū)院，由菲爾茲獎(jiǎng)得主丘成桐2021年創(chuàng)立，錨定培養(yǎng)中國(guó)本土數(shù)學(xué)領(lǐng)軍人才的目標(biāo)，如今已匯集了七百余名學(xué)子，其中不少僅僅來(lái)自初中，他們被賦予無(wú)限的光環(huán)：學(xué)霸、天才、未來(lái)數(shù)學(xué)家……
“這里的學(xué)生腦子快、思維活，任何細(xì)小的漏洞都會(huì)被他們發(fā)現(xiàn)，需要花更多時(shí)間備課。”高鴻灝驚喜地發(fā)現(xiàn)，每次考試中，總會(huì)有學(xué)生寫(xiě)出更簡(jiǎn)潔、更有創(chuàng)意的新解法，“我非常期待這些學(xué)生開(kāi)始真正的研究，那時(shí)與他們的交流肯定十分有趣。”
而聚光燈的另一面，是和普通學(xué)生共同面臨的壓力與困惑。
作為班主任，看著班里的30名學(xué)生青澀的面孔，最小的才初三，最大的也才18歲，高鴻灝感到了前所未有的責(zé)任：怎樣當(dāng)好一名“養(yǎng)花人”？
“跟著學(xué)生成長(zhǎng)動(dòng)態(tài)調(diào)整工作重心?！苯?jīng)過(guò)一年摸索，高鴻灝總結(jié)了一套方案。在學(xué)生們剛?cè)雽W(xué)時(shí)，更關(guān)注其能否適應(yīng)大學(xué)生活，“我會(huì)走訪(fǎng)所有的學(xué)生宿舍，隨堂跟課，全面摸底學(xué)生情況?！?/p>
當(dāng)學(xué)生們逐漸適應(yīng)后，高鴻灝轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)業(yè)，利用班會(huì)課開(kāi)展特色選課指導(dǎo)?！扒迦A大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心包括代數(shù)、分析、幾何拓?fù)?、?shù)學(xué)物理、概率統(tǒng)計(jì)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等六大方向，我每次會(huì)請(qǐng)不同方向的老師來(lái)交流講解。”
等學(xué)生們基本完成必修課程，高鴻灝又開(kāi)始引導(dǎo)他們明確學(xué)術(shù)志趣，鼓勵(lì)學(xué)生多和不同導(dǎo)師交流，找到自己真正感興趣的方向、最適合的導(dǎo)師。
高鴻灝選擇以愛(ài)心、細(xì)心和耐心來(lái)解答這道教育難題。在求真書(shū)院，不免存在面對(duì)一些成績(jī)優(yōu)秀、獨(dú)來(lái)獨(dú)往、不善溝通的學(xué)生，該怎樣和他們溝通交流，高鴻灝困擾了許久。
“一定要讓學(xué)生感受到，我們關(guān)注的是他們的成長(zhǎng)，而不僅僅是成績(jī)?！备啉櫈f(shuō)，他選擇了默默的信任與陪伴，每次考試結(jié)束后，他都會(huì)打開(kāi)郵箱，針對(duì)不同學(xué)生的情況寫(xiě)一封郵件，有總結(jié)、有鼓勵(lì)，也有期待，也許不一定都能得到回復(fù)，但高鴻灝沒(méi)有放棄。
終于，一年半后的夜晚，高鴻灝的手機(jī)屏幕突然亮起——他收到了一名學(xué)生的微信，字里行間滿(mǎn)是糾結(jié)?！袄蠋?，我不知道自己應(yīng)該選哪些課……”看著長(zhǎng)長(zhǎng)一段文字，高鴻灝倍感欣慰，和學(xué)生詳細(xì)地分析、梳理選課思路，并真誠(chéng)地給出建議。
“我們釋放的關(guān)心和支持，學(xué)生們都能感受到。只要他們?cè)谧鲫P(guān)鍵抉擇的時(shí)候，能找到我們尋求幫助，就成功了?！备啉櫈锌?。
選擇感興趣的方向，夯實(shí)基礎(chǔ)，找到自己的節(jié)奏，勇于嘗試，不怕失敗，堅(jiān)持走下去……這是高鴻灝身體力行的準(zhǔn)則，更是他希望傳達(dá)給學(xué)生的理念。
“只有一流的學(xué)術(shù)環(huán)境才能造就一流的人才、獲得突破性成果?！痹诟啉櫈磥?lái)，求真書(shū)院有著各類(lèi)豐富的學(xué)術(shù)活動(dòng)，創(chuàng)造了接觸前沿的、有影響力的課題的機(jī)會(huì)，為學(xué)生成長(zhǎng)創(chuàng)造了沃土，“未來(lái)我國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)科架構(gòu)一定會(huì)更加多樣化，也將走出引領(lǐng)世界數(shù)學(xué)的領(lǐng)軍科學(xué)家?！?/p>
高鴻灝的辦公室墻上，懸掛著一幅字，“尋天人樂(lè)處，拓萬(wàn)古心胸”，這不僅是丘成桐贈(zèng)與求真學(xué)子的院訓(xùn)，也是他在科研、教學(xué)中堅(jiān)守的準(zhǔn)則。
編輯：李華山
