中國(guó)群表示論的奠基人——著名數(shù)學(xué)家段學(xué)復(fù)
（１９１４— ）
王杰 王萼芳 石生明
段學(xué)復(fù)，數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家。長(zhǎng)期從事代數(shù)學(xué)的研究，在有限群的模表示理論、代數(shù)李群、有限ｐ群、群論與組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用等方面取得重要成果。培養(yǎng)了一大批代數(shù)學(xué)研究人才。自１９５２年始，任北京大學(xué)數(shù)學(xué)系系主任近４０年。
段學(xué)復(fù)，１９１４年７月２９日出生，陜西省華縣人。父親段大貞為清光緒１０年（１８８４年）甲申進(jìn)士，母親雷詠霓亦知書(shū)達(dá)理。１０歲之前，段學(xué)復(fù)一直在家由父親教語(yǔ)文，認(rèn)方塊字，讀經(jīng)史書(shū)籍?！暗锰煜掠⒉哦逃粯?lè)也”的教育思想對(duì)段學(xué)復(fù)起了較大的影響。與此同時(shí)，他還跟一位當(dāng)時(shí)在北京學(xué)醫(yī)科的堂兄學(xué)完了初小算術(shù)。
１９２４年秋段學(xué)復(fù)考入北京師范大學(xué)附屬小學(xué)，讀高小一年級(jí)。第二年又跳級(jí)考入北京師范大學(xué)附中。１９２６年暑假后，他因病休學(xué)一年。在中學(xué)的后五年中，他一直是在成績(jī)優(yōu)異、身體瘦弱的狀態(tài)下度過(guò)的。１９２９年秋段學(xué)復(fù)考入了北京師范大學(xué)附中的高中理科班。
當(dāng)時(shí)附中的教育質(zhì)量是很高的，教材先進(jìn)，要求嚴(yán)格，還開(kāi)有選修課。以傅種孫先生為代表的數(shù)學(xué)教學(xué)更是使段學(xué)復(fù)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。由于對(duì)數(shù)學(xué)的愛(ài)好，１９３２年高中畢業(yè)后段學(xué)復(fù)考入了清華大學(xué)數(shù)學(xué)系（當(dāng)時(shí)稱(chēng)為“算學(xué)系”）。
段學(xué)復(fù)在清華大學(xué)的４年中先后聽(tīng)過(guò)熊慶來(lái)、鄭桐蓀、楊武之、趙訪(fǎng)熊、曾遠(yuǎn)榮等教授的課。這些老師各有特點(diǎn)，使段學(xué)復(fù)在分析、代數(shù)、幾何諸方面都得以打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在此期間，段學(xué)復(fù)還選修了來(lái)校講學(xué)的美國(guó)麻省理工學(xué)院Ｎ．維納（Ｗｉｅｎｅｒ）教授開(kāi)設(shè)的傅立葉級(jí)數(shù)與傅立葉積分課，旁聽(tīng)了法蘭西學(xué)院的Ｊ．阿達(dá)馬（Ｈａｄａｍａｒｄ）院士講授的偏微分方程課。這些都使段學(xué)復(fù)開(kāi)闊了眼界。
體育課老師馬約翰是使段學(xué)復(fù)終生難忘的又一位教師。在馬教授的熱情鼓勵(lì)和科學(xué)訓(xùn)練下，原來(lái)非常瘦弱的段學(xué)復(fù)在一學(xué)期之后居然就能順利地跑完一英里長(zhǎng)的距離。正是由于健康狀況大為改善，才使他得以在抗戰(zhàn)期間經(jīng)受住了幾千里的長(zhǎng)途顛簸。
段學(xué)復(fù)剛?cè)雽W(xué)便認(rèn)識(shí)了華羅庚，從第二年起兩人就相當(dāng)熟了。他們和華羅庚在中文系的一個(gè)同鄉(xiāng)王兆芹（時(shí)風(fēng)），三個(gè)人常常一起吃完晚飯后就在校園里長(zhǎng)距離散步，邊走邊談，既聊數(shù)學(xué)，也談時(shí)局。華羅庚對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和作法，為段學(xué)復(fù)推薦的課外數(shù)學(xué)書(shū)籍等都對(duì)段學(xué)復(fù)有較大的影響和幫助。
當(dāng)時(shí)，日本侵略軍正在不斷擴(kuò)大侵華戰(zhàn)爭(zhēng)。在民族生死存亡的緊要關(guān)頭，段學(xué)復(fù)也受到了愛(ài)國(guó)主義的洗禮。他參加了１９３５年１２月９日和１２月１６日的兩次示威游行以及１９３６年２月２９日晚在清華大學(xué)新體育館的集體滅燈靜坐，抗議大批軍警闖入校園逮捕學(xué)生。
１９３６年夏，段學(xué)復(fù)獲得理學(xué)士學(xué)位，畢業(yè)留校任助教。１９３７年７月７日，日本侵略軍借口所謂蘆溝橋事件悍然侵占北平，挑起全面侵華戰(zhàn)爭(zhēng)。段學(xué)復(fù)于７月２９日傍晚與母親等三人一起離開(kāi)北平，一路輾轉(zhuǎn)顛簸，于當(dāng)年１０月來(lái)到由北京大學(xué)、清華大學(xué)和南開(kāi)大學(xué)聯(lián)合組成的長(zhǎng)沙臨時(shí)大學(xué)工作。次年４月６日段學(xué)復(fù)在西安與中學(xué)語(yǔ)文教師雷彬如女士結(jié)婚。此后不久，段學(xué)復(fù)又獨(dú)自一人去昆明，在西南聯(lián)合大學(xué)－清華大學(xué)任教。
當(dāng)年秋天，華羅庚從英國(guó)劍橋大學(xué)訪(fǎng)問(wèn)歸來(lái)，成為西南聯(lián)合大學(xué)－清華大學(xué)的教授。他講授的“近世代數(shù)”課程以當(dāng)時(shí)問(wèn)世不久的Ｂ．Ｌ．范德瓦爾登（ｖａｎ?。洌澹颉?Ｗａｅｒｄｅｎ）的《近世代數(shù)》第一卷為藍(lán)本，但又做了不少的修改。段學(xué)復(fù)擔(dān)任了刻寫(xiě)講義和批改學(xué)生習(xí)題的任務(wù)。華羅庚還在教師中作過(guò)《域論八講》的系列報(bào)告。這些都使段學(xué)復(fù)的代數(shù)學(xué)功底提高到一個(gè)新水平。另外，華羅庚還主持一個(gè)有限群討論班，參加的有段學(xué)復(fù)、孫本旺、樊和徐賢修等。大家輪流報(bào)告，素材是Ｐ．霍爾（Ｈａｌｌ）剛發(fā)表不久的重要論文《對(duì)Ｐ－群理論的貢獻(xiàn)》和Ｈ．查森豪斯（Ｚａｓｓｅｎ－ｈａｕｓ）的《群論教程Ｉ》。從這時(shí)起，華羅庚與段學(xué)復(fù)開(kāi)始合作研究ｐ群的計(jì)數(shù)定理。這也是段學(xué)復(fù)從事代數(shù)學(xué)、特別是有限群方面的理論研究和培養(yǎng)人才工作的開(kāi)端。
?。保梗常鼓晟习肽辏螌W(xué)復(fù)考取了留英公費(fèi)生。由于第二次世界大戰(zhàn)爆發(fā)和日本侵華戰(zhàn)爭(zhēng)的擴(kuò)大，他幾經(jīng)波折才于次年９月到達(dá)加拿大，進(jìn)入多倫多大學(xué)。同時(shí)入學(xué)的還有郭永懷、錢(qián)偉長(zhǎng)、林家翹等。多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)系是當(dāng)時(shí)加拿大最大的數(shù)學(xué)系，段學(xué)復(fù)的導(dǎo)師Ｒ．布勞爾（Ｂｒａｕｅｒ）當(dāng)時(shí)正在創(chuàng)建有限群的模表示論。系里還有Ｇ．ｄｅＢ．魯賓遜（Ｒｏｂｉｎｓｏｎ）和Ｈ．Ｓ．Ｍ．考克斯特（Ｃｏｘｅｔｅｒ）等代數(shù)學(xué)方面的著名教授。段學(xué)復(fù)在多倫多選修了四門(mén)課程，其中包括布勞爾和魯賓遜的群論。除此之外，段學(xué)復(fù)主要是在布勞爾的指導(dǎo)下進(jìn)行研究，很快就取得了一些關(guān)于ｐ群的成果，并于１９４１年獲得碩士學(xué)位。此后他于１９４１年８月進(jìn)入美國(guó)普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系攻讀博士學(xué)位?！ ?/P>
普林斯頓在當(dāng)時(shí)有世界數(shù)學(xué)中心之稱(chēng)，著名的代數(shù)學(xué)家Ｊ．Ｈ．Ｍ．韋德伯恩（Ｗｅｄｄｅｒｂｕｒｎ）就在該校任教。Ｃ．謝瓦萊（Ｃｈｅｖａｌｌｅｙ）則是系里３０多歲的年輕助教授，學(xué)術(shù)上非?；钴S。而普林斯頓高等研究院更是匯集了像Ａ．愛(ài)因斯坦（Ｅｉｎｓｔｅｉｎ）、Ｈ．外爾（Ｗｅｙｌ）、Ｊ．馮·諾依曼（ｖｏｎ?。危澹酰恚幔睿睿┑冗@樣一批世界聞名的科學(xué)家。在這里，段學(xué)復(fù)參加了不少課程和討論班，其中有謝瓦萊的代數(shù)幾何基礎(chǔ)和積分方程，外爾的代數(shù)數(shù)論和二次型的算術(shù)理論，Ｃ．Ｌ．西格爾（Ｓｉｅｇｅｌ）的解析數(shù)論和超越數(shù)論。他還聽(tīng)了Ｓ．萊夫謝茨（Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ）的拓?fù)湔n和Ａ．丘奇（Ｃｈｕｒｃｈ）的邏輯課等。在科研方面，段學(xué)復(fù)在布勞爾和謝瓦萊的指導(dǎo)下，通過(guò)聽(tīng)課、參加討論班，特別是通過(guò)鉆研他們已經(jīng)發(fā)表的論文和尚未發(fā)表的文稿、書(shū)稿，最終與他們合作完成了有限群的模表示理論和李群、代數(shù)群兩方面的重要工作。１９４３年段學(xué)復(fù)獲得普林斯頓大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位。這之后，他繼續(xù)留在該校做了兩年的博士后，還到Ｅ．阿廷（Ａｒｔｉｎ）處作過(guò)４個(gè)月的訪(fǎng)問(wèn)學(xué)習(xí)。在此期間，他曾任數(shù)學(xué)系研究助理。從１９４５年９月起，段學(xué)復(fù)到普林斯頓高等研究院擔(dān)任外爾的助手，協(xié)助他開(kāi)設(shè)很有特色的群論課，并幫助修訂其經(jīng)典名著《典型群》（１９３９），受到他的熏陶，一直到１９４６年回國(guó)。
在國(guó)外的這６年是段學(xué)復(fù)的數(shù)學(xué)生涯中很重要的一個(gè)時(shí)期。這６年里，他學(xué)習(xí)過(guò)的課程幾乎涉及到了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的各主要領(lǐng)域。而有幸向布勞爾和謝瓦萊這兩位大師學(xué)習(xí)并與之合作，對(duì)于段學(xué)復(fù)的影響更是不言而喻的。
抗戰(zhàn)勝利以后，段學(xué)復(fù)婉言辭謝了外爾的挽留，毅然決定回國(guó)。他認(rèn)為：落葉歸根，祖國(guó)總是要回去的；不管怎樣，自己的事業(yè)只能在中國(guó)?。保梗矗赌辏吩露螌W(xué)復(fù)回到上海。在上海他見(jiàn)到了即將全家赴美的華羅庚，并與之一起參加了李公樸、聞一多兩位烈士的追悼會(huì)。與此同時(shí)，段學(xué)復(fù)還會(huì)見(jiàn)了當(dāng)時(shí)正在籌建中央研究院數(shù)學(xué)研究所的陳省身。陳省身聘請(qǐng)段學(xué)復(fù)作數(shù)學(xué)研究所的兼任研究員，負(fù)責(zé)指導(dǎo)新從浙江大學(xué)畢業(yè)到所的曹錫華。
１９４６年１０月段學(xué)復(fù)回到了闊別９年的清華園，任清華大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，從第二年起任代理系主任。在這段時(shí)間里，他連續(xù)開(kāi)設(shè)了高等代數(shù)、高等微積分、近世代數(shù)、點(diǎn)集拓?fù)涞日n程。１９４６－１９４７學(xué)年他指導(dǎo)應(yīng)屆畢業(yè)生萬(wàn)哲先的畢業(yè)論文。１９４７年上半年，他又指導(dǎo)當(dāng)時(shí)已轉(zhuǎn)到清華大學(xué)的曹錫華學(xué)習(xí)抽象代數(shù)和模表示論，并于１９４８年下半年推薦他赴美到當(dāng)時(shí)在密執(zhí)根大學(xué)任教的布勞爾處作博士研究生?，F(xiàn)在曹錫華已經(jīng)在華東師范大學(xué)建立起了活躍的代數(shù)群科研集體。在代理系主任期間，段學(xué)復(fù)聘請(qǐng)了許寶騄、申又棖、莊圻泰等北京大學(xué)教授到清華大學(xué)兼課，又聘請(qǐng)由英國(guó)回來(lái)的閔嗣鶴到清華大學(xué)任教。
?。保梗矗改辏保苍拢保橙涨迦A園先北平而解放。段學(xué)復(fù)被任命為數(shù)學(xué)系主任。在中華人民共和國(guó)的新氣象鼓舞下，他不顧自己大病初愈的身體，以極大的熱情投身到繁重的教學(xué)、科研和行政領(lǐng)導(dǎo)工作中去。１９５０年春天華羅庚從美國(guó)回到清華大學(xué)，與其同時(shí)回國(guó)的程民德也應(yīng)邀到清華大學(xué)任教。在全系教師的共同努力下，從１９４９年到１９５２年，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系為中華人民共和國(guó)培養(yǎng)出了一批后來(lái)成為各方面骨干的優(yōu)秀人才，其中在代數(shù)學(xué)及其相近領(lǐng)域工作的有萬(wàn)哲先、丁石孫、曾肯成、裘光明、王萼芳等人。
段學(xué)復(fù)從１９５０年至１９８７年一直擔(dān)任中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)常務(wù)理事，１９５０－１９５２年參加了中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所的籌建工作，１９５２年任北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系主任，１９５５年被選為中國(guó)科學(xué)院學(xué)部委員。他參加了１９５６年國(guó)家“十二年科學(xué)遠(yuǎn)景規(guī)劃”等全國(guó)科學(xué)規(guī)劃及數(shù)學(xué)學(xué)科規(guī)劃的制定和名詞審定工作，參加了教育部和高教部的科研規(guī)劃、教學(xué)計(jì)劃的制定以及教材編審工作。
?。保梗福蹦晟习肽甓螌W(xué)復(fù)主動(dòng)辭去了北京大學(xué)數(shù)學(xué)系主任的職務(wù)。但他的工作擔(dān)子并沒(méi)有減輕很多。１９８１—１９８４年他擔(dān)任國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)第一屆數(shù)學(xué)評(píng)議分組成員兼召集人之一，同時(shí)還任北京大學(xué)數(shù)學(xué)系和數(shù)學(xué)研究所學(xué)術(shù)委員會(huì)主任。他曾任《中國(guó)科學(xué)》、《科學(xué)通報(bào)》、《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》、《數(shù)學(xué)通報(bào)》和《數(shù)學(xué)年刊》編委，《數(shù)學(xué)進(jìn)展》主編（１９８０－１９８７）、名譽(yù)主編。他還是《中國(guó)大百科全書(shū)》總編委會(huì)委員，數(shù)學(xué)卷執(zhí)行副主編，數(shù)論、代數(shù)學(xué)分組主編。
中國(guó)群表示論的奠基人
幾十年來(lái)，段學(xué)復(fù)先后發(fā)表了約３０篇學(xué)術(shù)論文以及一些其他論著。作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，段學(xué)復(fù)的研究領(lǐng)域主要是代數(shù)學(xué)。他的最早也是最重要的成就是在有限群的模表示論，特別是指標(biāo)塊及其在有限單群和有限線(xiàn)性群構(gòu)造研究中的應(yīng)用上。
有限群的模表示論研究有限群在特征為素?cái)?shù)Ｐ的域上的表示，當(dāng)Ｐ能夠整除群的階時(shí)，其表示與通常的有限群在特征０的域上的表示有很大的不同，理論更加復(fù)雜、深刻。這一理論自１９３５年由布勞爾創(chuàng)立，到４０年代已初具規(guī)模。就在這時(shí)段學(xué)復(fù)開(kāi)始了這方面的研究工作。在布勞爾１９４２年發(fā)表的重要論文《論階恰含某素?cái)?shù)的一次冪的有限群》的指引下，他在同一題目的博士論文（普林斯頓大學(xué)，１９４３年）中，在與布勞爾合作并繼續(xù)布氏的工作而完成的兩篇論文中取得了一些迄今仍有意義的重要成果。它們主要是：
?。ǎ保┑贸隽似潆A為ｐｑｂｍ的某些單群的結(jié)構(gòu)，其中ｐ和ｑ是互不相同的素?cái)?shù)，ｂ和ｍ為正整數(shù)且滿(mǎn)足ｍ≤ｐ－１。
（２）證明了Ｌ．Ｅ．迪克森（Ｄｉｃｋｓｏｎ）在其《線(xiàn)性群》一書(shū)中所列出的單群表直到１００００階都是完全的。
?。ǎ常?duì)于ｐｇ＇階的線(xiàn)性群，這里ｐ為素?cái)?shù)且（ｐ，ｇ＇）＝１，當(dāng)其維數(shù)≤（２ｐ十１）／３時(shí)，確定了它們的構(gòu)造。
為了得到這些結(jié)果，段學(xué)復(fù)證明了模表示論的一些基本事實(shí)，例如他確定了ｐｇ＇階群的ｐ塊的布勞爾樹(shù)的重要性質(zhì)。他證明的三個(gè)引理，分別被人們稱(chēng)為“（布勞爾－段－）斯坦頓（Ｓｔａｎｔｏｎ）原則”、“（布勞爾－段）指標(biāo)塊分離原則”和“布勞爾－段定理”。
幾十年已經(jīng)過(guò)去，但這些成果并未失去它們的光彩。這一方面是由于它們所涉及的問(wèn)題始終是有限群理論研究的主流，這些工作是后來(lái)發(fā)展的起點(diǎn)；另一方面也是由于現(xiàn)有的新結(jié)果仍然無(wú)法繞過(guò)或者替代段學(xué)復(fù)自己以及他和布勞爾合作得到的上述結(jié)果。正因?yàn)槿绱耍@些結(jié)果被詳細(xì)地寫(xiě)入Ｗ．費(fèi)特（Ｆｅｉｔ）的表示論名著《有限群的表示理論》，并為群論工作者廣泛引用。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，在１９４５年以來(lái)的數(shù)學(xué)論著中，引用段學(xué)復(fù)的論文的就有３０多處。
?。担埃叮澳甏螌W(xué)復(fù)沿著這一研究方向繼續(xù)工作。這期間他在北京大學(xué)組織過(guò)兩次有限群模表示論討論班，指導(dǎo)青年教師和研究生。特別是通過(guò)１９６４－１９６６年的討論班培養(yǎng)的研究生洪加威、李慧陵，他們決定了一些特殊類(lèi)型的單群。就在他們有可能取得突破性進(jìn)展時(shí)，“文化大革命”開(kāi)始了，我國(guó)在這個(gè)方向的研究被中斷。也正是在這個(gè)時(shí)候，有限單群分類(lèi)的工作在國(guó)際上轟轟烈烈地開(kāi)始了。
“文化大革命”以后，段學(xué)復(fù)指導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行這方面的研究工作，其中突出的是博士生張繼平。他用表示論和單群分類(lèi)定理徹底解決了維數(shù)小于ｐ的復(fù)線(xiàn)性群的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。
段學(xué)復(fù)在代數(shù)李群方面也做了出色的工作。復(fù)數(shù)域上的代數(shù)李群是一個(gè)復(fù)矩陣群，其中的矩陣由其系數(shù)所滿(mǎn)足的一組代數(shù)方程式所決定。這一概念的萌芽早在上個(gè)世紀(jì)末就已出現(xiàn)，這之后被人們遺忘了５０年。但在此期間，Ｅ．嘉當(dāng)（Ｃａｒｔａｎ）和外爾對(duì)李群李代數(shù)進(jìn)行了深入的研究。１９４３年，謝瓦萊首先在其題為《矩陣間的一種新關(guān)系》的論文中引進(jìn)了利用矩陣的張量不變量而得到的矩陣復(fù)型的定義，然后又進(jìn)一步利用矩陣的復(fù)型給出了特征為０的域上ｎ維矩陣?yán)睿ǎ蹋椋澹┐鷶?shù)的子代數(shù)為代數(shù)李代數(shù)的定義。這時(shí)段學(xué)復(fù)跟隨他學(xué)習(xí)李群、李代數(shù)，并合作發(fā)表了論文，概述了謝瓦萊－段學(xué)復(fù)合作工作的證明線(xiàn)索，而全文則因?yàn)閮晌蛔髡咧g的聯(lián)系一度中斷，遲至６年以后才得以發(fā)表。在文中他們證明了代數(shù)李群的如下基本定理：“每個(gè)代數(shù)李群的李代數(shù)是代數(shù)的李代數(shù)，而每個(gè)復(fù)數(shù)域上的代數(shù)李代數(shù)必定是某個(gè)代數(shù)李群的李代數(shù)”。由于有了這個(gè)定理，就可以利用李代數(shù)的方法把代數(shù)李群推廣到特征為０的任意域上去。著名數(shù)學(xué)家Ａ．博雷爾（Ｂｏｒｅｌ）曾經(jīng)指出：４０年代中期謝瓦萊和段學(xué)復(fù)用李代數(shù)的方法把代數(shù)李群推廣到特征零的任意域上，這是１９５５年線(xiàn)性代數(shù)群一般理論誕生的前奏。８０年代中，藍(lán)以中曾進(jìn)行與代數(shù)李代數(shù)有關(guān)的研究。
事實(shí)上，段學(xué)復(fù)在這方面最早的一篇論文是《關(guān)于冪零矩陣的復(fù)型的一個(gè)注記》。在這篇論文中，段學(xué)復(fù)對(duì)前述謝瓦萊的第一篇文章里的定理６，給出了一個(gè)利用矩陣若爾當(dāng)（Ｊｏｒｄａｎ）標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算的直接而簡(jiǎn)單得多的證明，并將其加強(qiáng)且推廣到特征ｐ≠０的域上。
由于Ｐ．Ｌ．Ｍ．?dāng)⒙宸颍ǎ樱欤铮鳎┒ɡ淼某闪?，ｐ群的研究在有限群理論中具有特殊的意義。早在３０年代末霍爾關(guān)于ｐ群的重要論文剛發(fā)表不久，段學(xué)復(fù)就開(kāi)始了這方面的研究。他與華羅庚合作研究了含有指數(shù)為ｐ２（ｐ＞２）的循環(huán)子群的ｐ群，給出了有關(guān)的計(jì)數(shù)定理，并對(duì)這種群作了完全分類(lèi)，其結(jié)果用英文發(fā)表。在此基礎(chǔ)上，華羅庚進(jìn)行推廣，引進(jìn)了ｐ群的秩（即ｐｎ階群中包含的最大循環(huán)子群的指數(shù)ｐｎ－ａ中的ａ）和偽基底的概念，證明了任意奇數(shù)階ｐ群必有偽基底，并證明了循環(huán)子群的個(gè)數(shù)的米勒（Ｍｉｌｌｅｒ）定理的推廣等計(jì)數(shù)定理（見(jiàn)“ｐ群的某些計(jì)數(shù)定理”）。段學(xué)復(fù)運(yùn)用華羅庚的上述結(jié)果，通過(guò)精細(xì)的分析計(jì)算，對(duì)于奇數(shù)階ｐ群中子群個(gè)數(shù)的庫(kù)拉考夫（Ｋｙπａков）定理進(jìn)行了推廣，證明了奇ｐｎ階秩ａ的ｐ群中ｐｍ階子群的個(gè)數(shù)Ｎ（ｍ）ｍｏｄｐ３當(dāng)２ａ＋１≤ｍ≤ｎ時(shí)必為１，１十ｐ，１十ｐ十ｐ２或１十ｐ十２ｐ２之一。這方面后來(lái)有很多外國(guó)尤其是蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)家進(jìn)行研究，至今仍然吸引著研究者的注意。段學(xué)復(fù)還對(duì)華羅庚的偽基底定理給出了一個(gè)更加簡(jiǎn)明的證明。
主要從８０年代初起，段學(xué)復(fù)和王萼芳的學(xué)生徐明曜、唐守文等人在上述幾篇論文的思想指引下和發(fā)展中進(jìn)行工作，在ｐ群的冪結(jié)構(gòu)和換位子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系上取得了研究成果。唐守文繼續(xù)段學(xué)復(fù)１９３９年對(duì)于具有循環(huán)弗拉蒂尼（Ｆｒａｔｔｉｎｉ）子群的有限ｐ群的工作，最終給出了這類(lèi)ｐ群的一個(gè)完全分類(lèi)。
段學(xué)復(fù)在《關(guān)于ｐ群的一個(gè)定理》中，利用換位元素的運(yùn)算法則證明了：若ｐ群Ｇ包含一個(gè)最大交換正規(guī)子群Ａ且Ｇ／Ａ為循環(huán)群，則Ａ／Ｚ≌Ｋ，其中Ｚ是Ｇ的中心而Ｋ是Ｇ的換位子群。對(duì)于Ｇ的上、下中心群列中相應(yīng)的子群，他也證明了存在相應(yīng)的同構(gòu)。這項(xiàng)工作為一些中外學(xué)者所引用。布勞爾與段學(xué)復(fù)還有一些未發(fā)表的關(guān)于ｐ群的工作，手稿保留至今。
電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使組合數(shù)學(xué)與離散數(shù)學(xué)得到了蓬勃的發(fā)展，而有限群理論與組合數(shù)學(xué)（包括區(qū)組設(shè)計(jì)、有限幾何、圖論等）、編碼理論以及密碼學(xué)等等都有著密切的聯(lián)系。同時(shí)，有限群的計(jì)算機(jī)方法、算法復(fù)雜度以及實(shí)用軟件的研制等工作也由于其理論意義和實(shí)用價(jià)值，從６０年代起得到了迅速的發(fā)展。７０年代前期，段學(xué)復(fù)為某科研部門(mén)進(jìn)行了幾項(xiàng)應(yīng)用問(wèn)題的研究，所給出的方法在實(shí)際工作中使計(jì)算時(shí)效提高了許多倍。他還與其他同志一道開(kāi)辦講習(xí)班，為實(shí)際工作部門(mén)培養(yǎng)了一批專(zhuān)門(mén)人才，受到有關(guān)部門(mén)的嘉獎(jiǎng)?！拔幕蟾锩币院螅M(jìn)一步在計(jì)算群論與組合數(shù)學(xué)方面開(kāi)展研究工作，并與王萼芳一起合作培養(yǎng)了王杰等５名這個(gè)方向的博士和碩士研究生。
?。保梗福的?，段學(xué)復(fù)領(lǐng)導(dǎo)的群論科研集體中的王萼芳、石生明、徐明曜三人的“有限群及其表示論與組合數(shù)學(xué)”科研項(xiàng)目被評(píng)為國(guó)家教委優(yōu)秀科技成果，他的《有限群對(duì)一類(lèi)組合問(wèn)題的應(yīng)用》獲某科研部門(mén)科技成果獎(jiǎng)。１９８５年１０月９日，段學(xué)復(fù)榮獲中國(guó)科學(xué)院“從事科學(xué)工作５０年榮譽(yù)獎(jiǎng)狀”，１９８９年１１月１日榮獲中國(guó)科學(xué)院“學(xué)部委員榮譽(yù)章”。１９９０年１２月榮獲國(guó)家科委、國(guó)家教委“從事科技工作４０年榮譽(yù)證書(shū)”。
畢生為建系、育才而奮斗
?。保梗担材?，為了更好地適應(yīng)全國(guó)解放所帶來(lái)的各項(xiàng)事業(yè)的飛速發(fā)展，教育部在較大范圍內(nèi)對(duì)所屬高等院校的地區(qū)分布、專(zhuān)業(yè)設(shè)置以及教學(xué)科研力量的配備等方面作了合理的調(diào)整。北京大學(xué)新的數(shù)學(xué)力學(xué)系由原來(lái)的老北京大學(xué)、清華大學(xué)以及燕京大學(xué)三校的數(shù)學(xué)系組建而成，段學(xué)復(fù)受聘為系主任。
新中國(guó)百業(yè)待舉，需要大量的各種人才。北京大學(xué)任重道遠(yuǎn)，僅數(shù)學(xué)力學(xué)系每年就要招收近２００名大學(xué)生，培養(yǎng)約十名研究生。然而，院系調(diào)整后的北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系僅有３０名左右的教師，只有分析和高等數(shù)學(xué)兩個(gè)教研室。不僅缺乏微分方程、概率統(tǒng)計(jì)以及計(jì)算數(shù)學(xué)等重要學(xué)科方向的教學(xué)科研力量，而且由于西方對(duì)我國(guó)的全面封鎖，就連課堂教學(xué)用的教材都十分稀少。
面對(duì)這一艱巨而繁重的任務(wù)，年僅３８歲的段學(xué)復(fù)團(tuán)結(jié)全系教職工，特別是１９５５年以后，在系副主任程民德教授的協(xié)助下，支撐體弱多病的身體為籌建新的數(shù)學(xué)力學(xué)系傾注了大量的心血。首先是在學(xué)習(xí)蘇聯(lián)上下功夫：一是派出去，曾先后有４名教師赴蘇學(xué)習(xí)；二是請(qǐng)進(jìn)來(lái)，有系主任顧問(wèn)、蘇聯(lián)力學(xué)家別洛娃（Белва）到系親自指導(dǎo)５名力學(xué)研究生，且不久之后就在校教務(wù)長(zhǎng)周培源教授的支持和協(xié)助下，成立了全國(guó)第一個(gè)力學(xué)專(zhuān)業(yè)。身為系主任的段學(xué)復(fù)十分重視發(fā)揮專(zhuān)家的作用，無(wú)論工作多么繁忙也要安排與別洛娃會(huì)談工作，在１９５３－１９５４學(xué)年中甚至每周一次。值得一提的是，在國(guó)內(nèi)推廣重要的教學(xué)環(huán)節(jié)——習(xí)題課正是在這個(gè)時(shí)候開(kāi)始的。當(dāng)時(shí)到系里講學(xué)的蘇聯(lián)代數(shù)學(xué)及概率論專(zhuān)家Ｅ．Б．鄧肯（Дынкин）和波蘭數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家菲茨（Ｆｉｔｚ），為在國(guó)內(nèi)領(lǐng)先成立概率論教研室作出了貢獻(xiàn)。其次是創(chuàng)造條件，充分發(fā)揮國(guó)內(nèi)專(zhuān)家的力量，如配合高等教育部于１９５４年在北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系舉辦了常微分方程和偏微分方程的講習(xí)班，聽(tīng)講的有來(lái)自全國(guó)各地的教師１００多人，這為擴(kuò)大專(zhuān)業(yè)隊(duì)伍進(jìn)而設(shè)置微分方程教研室?guī)Я藗€(gè)好頭。１９５５年，北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系又成立了計(jì)算數(shù)學(xué)教研室，為在國(guó)內(nèi)發(fā)展這一方向奠定了基礎(chǔ)。此后，北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系還與莫斯科大學(xué)制備了科學(xué)研究合作規(guī)劃。
在教材建設(shè)方面，自５０年代起，在段學(xué)復(fù)的親自參加下，經(jīng)全系教師的努力，先后譯出了Ａ．Г．庫(kù)洛什（Ｋｙｐｏш）的《高等代數(shù)》、Ａ．Я．辛欽（Хинчин）的《數(shù)學(xué)分析》和Ｂ．И．斯米爾諾夫（Ｃмирнов）的《高等數(shù)學(xué)教程》等書(shū)籍，解決了教學(xué)的急需，其中公開(kāi)出版的也為兄弟院校提供了良好的教材和參考書(shū)。
就這樣，在全系干部和教職員工的共同努力下，從１９５２年到１９６６年，北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系為國(guó)家培養(yǎng)出了約２０００名本科畢業(yè)生和數(shù)十名研究生，同時(shí)在科研方面也取得了很好的成績(jī)。
系主任的工作是非常繁忙的，段學(xué)復(fù)的身體不好，長(zhǎng)期患有胃腸潰瘍。但就在這種情況下，他的教學(xué)和科研工作一直沒(méi)有停過(guò)。他多次開(kāi)設(shè)高等代數(shù)、近世代數(shù)、李代數(shù)等課程，帶研究生，指導(dǎo)學(xué)生撰寫(xiě)論文。１９５２－１９６６年段學(xué)復(fù)在其他同志的協(xié)助下，培養(yǎng)出了許以超、沈光宇、藍(lán)以中、徐明曜、盧才輝等代數(shù)方面的本科生和石生明、洪加威、李慧陵等研究生。特別應(yīng)當(dāng)指出的是，段學(xué)復(fù)在１９５２－１９６６年間舉辦了兩期有限群模表示論討論班。第一次是在１９５４—１９５５年，他與聶靈沼、萬(wàn)哲先合作撰寫(xiě)講義，無(wú)保留地提出自己所了解的重要研究課題，引導(dǎo)王萼芳研究階≤２７０００的有限單群，取得了成果。第二次是受教育部的委托于１９６４—１９６６年間舉辦的。段學(xué)復(fù)與王萼芳合作編寫(xiě)了講義，并有陳重穆等外單位教師和本系的研究生參加，開(kāi)展專(zhuān)題研究、撰寫(xiě)論文?，F(xiàn)在陳重穆已經(jīng)在西南師范大學(xué)建立起了活躍的有限群科研集體。
?。保梗叮啊保梗叮赌甓螌W(xué)復(fù)還兼任北京電視大學(xué)數(shù)學(xué)系主任，兩次參加北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽工作，寫(xiě)文章、作報(bào)告，并撰寫(xiě)了《對(duì)稱(chēng)》一書(shū)，為普通教育和成人教育付出了心血。
從１９７８年起，隨著我國(guó)學(xué)位制度的建立，段學(xué)復(fù)在其他同志的協(xié)助下，集中力量培養(yǎng)出了有限群及其表示論和計(jì)算群論與組合數(shù)學(xué)這兩個(gè)方向的５名博士和１４名碩士研究生，還指導(dǎo)了一名博士后。同時(shí)也培養(yǎng)了丘維聲等中青年教師和一些外校的進(jìn)修教師。１９８８年，他參加編寫(xiě)的《高等代數(shù)》獲國(guó)家教委“全國(guó)高等學(xué)校優(yōu)秀教材獎(jiǎng)”。
段學(xué)復(fù)曾多次參加國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)會(huì)議，在大會(huì)上做學(xué)術(shù)報(bào)告。１９８２年他主持中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)第一屆全國(guó)代數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)交流會(huì)，１９８４年主持北京國(guó)際群論討論會(huì)，并主編了會(huì)議論文集。直到１９８８年離休之后，段學(xué)復(fù)仍然在為我國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)勤奮工作。近年來(lái)他承擔(dān)著國(guó)家自然科學(xué)基金和國(guó)家教委博士點(diǎn)基金的科研項(xiàng)目，培養(yǎng)博士生、指導(dǎo)博士后。同時(shí)他仍然用相當(dāng)大的精力關(guān)心和幫助青年教師的成長(zhǎng)。
段學(xué)復(fù)的座右銘是“實(shí)事求是，認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)”。多年的治學(xué)經(jīng)歷使他深深體會(huì)到，科學(xué)是老老實(shí)實(shí)的學(xué)問(wèn)，任何一點(diǎn)調(diào)皮都是不行的。必須勤學(xué)多練，打好基礎(chǔ)，學(xué)深學(xué)透，做到能夠靈活運(yùn)用，至少有一兩手過(guò)得硬的功夫。抓住問(wèn)題后，要在掌握前人已有的主要工作的基礎(chǔ)上，開(kāi)闊思想，多方探索，鍥而不舍，以期一旦貫通，得到成果。他以發(fā)現(xiàn)人才、培養(yǎng)人才為樂(lè)事，認(rèn)為：師不必賢于弟子，能培養(yǎng)出勝過(guò)老師的學(xué)生是為師的最大快樂(lè)。
段學(xué)復(fù)曾經(jīng)多次患病，特別是１９５９年夏天做的直腸癌切除手術(shù)，給他帶來(lái)了永久性的不便和困難。但他始終保持樂(lè)觀(guān)主義的態(tài)度，與疾病做了頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，一直堅(jiān)持工作。
簡(jiǎn)歷
?。保梗保茨辏吩拢玻谷铡 〕錾?。祖籍陜西省華縣。
?。保梗常薄保梗常赌辍【妥x于清華大學(xué)算學(xué)系，獲理學(xué)士學(xué)位。
?。保梗常丁保梗常鼓辍∠群笤谇迦A大學(xué)、長(zhǎng)沙臨時(shí)大學(xué)和西南聯(lián)合大學(xué)任教。
?。保梗矗啊保梗矗蹦辍×魧W(xué)于加拿大多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)系，獲碩士學(xué)位。
?。保梗矗薄保梗矗衬辍×魧W(xué)于美國(guó)普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系，獲哲學(xué)博士學(xué)位。
?。保梗矗场保梗矗的辍≡诿绹?guó)普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系讀博士后。
?。保梗矗怠保梗矗赌辍≡谄樟炙诡D高等研究院工作。
?。保梗矗丁保梗担材辍∪吻迦A大學(xué)數(shù)學(xué)系教授。從１９４７年起任代系主任、系主任；
１９５０—１９８７年 任中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)常務(wù)理事。
?。保梗担材辍∪伪本┐髮W(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系、數(shù)學(xué)系、數(shù)學(xué)研究所教授。于１９５２－１９８１年任北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系、數(shù)學(xué)系主任。
?。保梗担的辍∪沃袊?guó)科學(xué)院院士。
主要論著
?。薄《螌W(xué)復(fù)，華羅庚．Ｓｏｍｅ Ａｎｚａｈｌ?。簦瑁澹铮颍澹恚蟆。妫铮颉。纾颍铮酰穑蟆。铮妗。穑颍椋恚澹穑铮鳎澹颉。铮颍洌澹颍螅剩茫瑁椋睿澹螅濉。停幔簦瑁樱铮悖?，１９４０，２：３１３—３１９．
?。病《螌W(xué)復(fù)，華羅庚．Ｄｅｔｅｒ ｍｉｎａｔｉｏｎ?。铮妗。簦瑁濉。纾颍铮酰穑蟆。铮妗。铮洌洌穑颍椋恚澹穑铮鳎澹颉。穑睿鳎瑁椋悖琛。悖铮睿簦幔椋睢?ａ ｃｙｃｌｉｃ ｓｕｂｇｒｏｕｐ?。铮妗。椋睿洌澹穑玻樱悖椋遥澹穑铮颍簦蟆?Ｎａｔ．Ｔｓｉｎｇ－Ｈｕａ?。眨睿椋觯澹颍螅椋簦。樱澹颍?，１９４０，４：１４５－１５１．
?。场《螌W(xué)復(fù)，布勞爾．Ｓｏｍｅ ｒｅｍａｒｋｓ?。铮睢。螅椋?ｐｌｅ?。纾颍铮酰穑蟆。铮妗?ｆｉｎｉｔｅ?。铮颍洌澹颍ǎ粒猓螅簦颍幔悖簦拢酰欤欤粒恚澹颍停幔簦瑁樱铮悖保梗矗玻矗福海常担叮?
?。础《螌W(xué)復(fù)．Ｏｎ?。螅椋恚穑欤濉?ｇｒｏｕｐｓ?。铮妗。铮颍洌澹颉。桑澹螅蟆。簦瑁幔?１００００．１９４２，ｕｎｐｕｂ ｌｉｓｈｅｄ．（參見(jiàn)Ｒ．Ｂｒａｕｅｒ，Ｂｌｏｃｋｓ ｏｆ ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ ａｎｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐｓ．Ｂｕｌｌ．Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．Ｎｅｗ Ｓｅｒｉｅｓ，１９７９，１：２１—３８．）
?。怠。龋螅椋椋?Ｆｕ Ｔｕａｎ．Ｏｎ?。纾颍铮酰穑蟆?ｗｈｏｓｅ ｏｒｄｅｒｓ?。悖铮睿簦幔椋睢。帷。穑颍椋恚濉。睿酰恚猓澹颉。簦铩。簦瑁澹妫椋颍螅簟?ｐｏｗｅｒ．Ａｎｎ．Ｍａｔｈ．１９４４，４５（２）：１１０－１４０．（Ｐｈ．Ｄ．Ｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，Ｐｒｉｎｃｅｔｏｎ?。眨睿椋觯保梗矗常?
?。丁。龋螅椋铮疲酢?Ｔｕａｎ．Ａ ｎｏｔｅ?。铮睢。簦瑁濉。颍澹穑欤椋悖幔蟆?ｏｆ ｎｉｌｐｏｔｅｎｔ?。恚幔簦颍椋悖澹螅拢酰欤欤粒恚澹颍停幔簦瑁樱铮悖?，１９４５，５１：３０５－３１３．
?。贰《螌W(xué)復(fù)，謝瓦萊．Ｏｎ?。幔欤纾澹猓颍幔椋恪?Ｌｉｅ?。幔欤纾澹猓颍幔螅校颍铮悖危幔簦粒悖幔洌樱悖椋眨樱粒保梗矗?，３：１９５－１９６．
?。浮《螌W(xué)復(fù)，布勞爾．Ｏｎ?。螅椋恚穑欤濉。纾颍铮酰穑蟆。铮妗。妫椋睿椋簦澹铮颍洌澹颍桑拢酰欤欤粒恚澹颍停幔簦瑁樱铮悖?，１９４５，５１：７５６－７６６．
?。埂《螌W(xué)復(fù)．Ａｎ Ａｎｚａｈｌ?。簦瑁澹铮颍澹怼。铮妗?Ｋｕｌａｋｏｆｆ’ｓ ｔｙｐｅ ｆｏｒ ｐ－ｇｒｏｕｐｓ．Ｓ Ｃｉ．Ｒｅｐ．Ｎａｔ．Ｔｓｉｎｇ Ｈｕａ?。眨睿椋觯樱澹颍粒保梗矗?，５：１８２－１８９．
１０ 段學(xué)復(fù)．Ａ?。簦瑁澹铮颍澹怼?ａｂｏｕｔ ｐ－ｇｒｏｕｐｓ Ｗｉｔｈ ａｂｅｌｉａｎｓｕｂ ｇｒｏｕｐｓ ｏｆ ｉｎｄｅ Ｘｐ．ＡｃａｄＳｉｎｉｃａ Ｓｃｉ．Ｒｅｃｏｒｄ，１９５０，３：２７－３２．
?。保薄《螌W(xué)復(fù)，謝瓦萊．Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｌｉｅａｌｇｅｂｒａｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ?。椋睿觯幔颍椋幔睿簦螅剩茫瑁椋睿澹螅澹停幔簦瑁樱铮悖ǎ危澹?Ｓｅｒ．）ｏｒ Ａｃｔａ Ｍａｔｈ．Ｓｉｎｉｃａ，１９５１，１：２１５－２４２．
?。保病《螌W(xué)復(fù)．近代中國(guó)數(shù)學(xué)家在代數(shù)方面的貢獻(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，１９５５，１：６０９－６１４．
１３ 段學(xué)復(fù)，王萼芳．有限群模表示論講義．北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系資料，１９６４－１９６６．
?。保础《螌W(xué)復(fù)．Ｗｏｒｋｓ ｏｎ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ ｔｈｅ ｏｒｙ ｂｙ ｓｏｍｅ Ｃｈｉｎｅｓｅ ｍａｔｈｅ ｍａｔｉｃｉａｎｓ．Ｐｒｏｃ．ｏｆ?。樱恚穑铮螅椋睢?Ｐｕｒｅ Ｍａｔｈ．Ｖｏｌ．３７，Ａｍｅｒ．Ｍａｔｈ．Ｓｏｃ．，１９８０：１８７—１９４．
?。保怠《螌W(xué)復(fù)．關(guān)于有限單群分類(lèi)問(wèn)題解決情況及其影響．中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)全國(guó)第一屆代數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)交流會(huì)議，１９８２．
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來(lái)源：《中國(guó)科學(xué)技術(shù)專(zhuān)家傳略》
